Отбор частных случаев

123

При решении первых уравнений (неравенств) желательно разобрать как можно больше частных случаев. Можно представить частные случаи и общее решение в виде сравнительной таблицы. В этом случае учащиеся увидят общие тенденции в решении частных случаев и общего решения.

Разобрав несколько примеров с решением 4-5 частных случаев уравнений (неравенств с параметрами), учащиеся могут рассматривать пару частных случаев, которые позволяют представить идею решения уравнения с параметром.

Задача 2. Решите уравнение= 0.

Решение. Определим вид уравнения при различных значениях параметра. Рассмотрим частные случаи при а = 5, а = 2, а = – 10 и а = 14 (табл. 1).

Таблица 1

Частные случаи Решение
Если а = 5, а = 2, а = – 10, а = 14, а ¹ 2,
то = 0 = 0 = 0 = 0 = 0
уравнение линейное. неверное равенство. линейное. линейное. линейное.
Тогда х – 5 = 0. х + 10 = 0. х – 14 = 0. х – а = 0.
Ответ: х = 5. Не имеет решения. х = – 10. х = 14. х = а.

Первый столбик читаем так: «Если а = 5, то = 0 — уравнение линейное. Тогда х – 5 = 0. Ответ: х = 5».

На основе частных случаев, делаем вывод, что только в случае равенства знаменателя нулю, уравнение = 0 не имеет корней, в остальных случаях х = а.

Ответ: если a = 2, то решений нет; если a Î (– µ; 2) È (2; + µ), то х = а.

(В таблице случаи, входящие в ответ, выделены розовым цветом).

При решении частных случаев для учителя и учащегося важным становится вопрос об отборе таких значений параметра, которые могли бы проиллюстрировать многообразие решений уравнений (неравенств) с параметрами. Как и когда это делать? Пару первых частных случаев можно взять произвольно. Если все этапы решения одинаковы, то можно решить задачу в общем виде. Например, в задаче 2, сначала вы рассмотрели частные случаи при а = 5 и а = – 10, их алгоритмы решения идентичны, что позволяет провести решение уравнения с параметром. При решении возникает случай неравенства знаменателю нулю, тогда возникает частный случай при а = 2.

Конечно, учителю нужно заранее отобрать те частные случаи, которые позволят с большей эффективностью провести обучение решению задач с параметрами. Например, при решении первых примеров желательно отобрать те значения параметров, при подстановке которых уравнения будут иметь как различные, так и одинаковые алгоритмы решения. А на последних этапах обучения можно подобрать такие значения параметра, которые создадут ложную картину общего решения задачи (создание проблемной ситуации). Значения параметров можно подбирать или в начале, или по ходу решения задачи с параметром (если в процессе решения возникают затруднения), или в конце для проверки ответа.



Запись ответа

Важным умением является правильная формулировка и запись ответа.

Форма ответа должна показывать решение в зависимости от параметра, т.е.:

«Если а = const, то х = f(а)».

При этом значения параметра должны выражаться конкретным числовым значением, а значение переменной х ­ — либо числовым или пустым множеством, либо алгебраическим выражением через параметр а.

Так например в задаче 2 ответ сформулирован так:

если a = 2, то решений нет; если a Î (– µ; 2) È (2; + µ), то х = а.

Видим, что если a = 2, то пустое множество, если a Î (– µ; 2) È (2; + µ), то х = f(а).

Обратите внимание,что при объединении всех значений перечисленных параметров в ответе должно получиться множество действительных чисел, т.е. {2} È (– µ; 2) È (2; + µ) = (– µ;+ µ) = R.


3957744730064592.html
3957768631742486.html

3957744730064592.html
3957768631742486.html
    PR.RU™